物理学を学び始めたとき、どれぐらいの数学を理解していればいいのか気になったことはありませんか？いきなり、ベクトルや微分・積分など、高校数学から手を付けだすと混乱するかもしれません。 だったら、まず中学校ぐらいの数学からやり直してみるか…と思うかもしれませんが、さすがに小学校の算数からやり直そうと思う人は少ないでしょう。 「小学生は九九やそろばんの使い方ぐらいしか習わないのでは？」 そう考える大人も多いですが、それは小学生を侮りすぎです。 例えば、今の小学校の算数では6年生でx,yを使った文字式の計算や比例、反比例といった概念などを習います。 こういった内容は、物理学にもダイレクトに...

半径 r の円の面積は πr^2 、球の体積は (4/3)πr^3 というのはよく知られた公式です。 球といえば普通3次元の球ですが、円は2次元の球とも言えます。では4次元、5次元、さらにn次元の球の体積は、どのような数式で表されるでしょうか？ 2次元（円）と3次元（球）を見比べてみると、半径 r の「●乗」の数字が次元の数と同じになっているところは法則性がありそうですね。問題は、その前に付いている定数です。 2次元（円）だと π 、3次元（球）だと (4/3)π、ちょっと法則性が分かりづらいですね…。 実は、n次元の場合、下のような式になるのです。 Γ（ガンマ）という見慣れない記号...

相対性理論で有名なアルベルト・アインシュタインが「数学における最大の発見」と言った手法をご存じでしょうか？（この言葉自体は冗談で言ったようですが） ベクトルの成分を1,2,3などの添字（そえじ）を付けて表現し、面倒くさいので i などのアルファベットでまとめて書くことがあります。（例えば３次元だと i = 1,2,3） アインシュタインの発見した手法、「アインシュタインの規約」とは、何のことはない １．和の記号Σを省略する ２．添字が揃ったら和をとる という単純なルールです。しかし、このルールは実に強力です。 慣れてしまえば、電磁気学などで出てくる複雑なベクトル解析の公式を全く覚える必要...

ニュートンとライプニッツが１７世紀に微分と積分を考案して以来、極限をどのように扱うべきかは数学の重要な問題でした。 ライプニッツは、1/∞ を０ではない数（無限小）として捉えていました。このように ∞ をひとつの「数」とみなして無限小を扱う研究方法は無限小解析（むげんしょうかいせき）と呼ばれています。 無限小解析は、長い間主流の考え方でしたが、数学としてそれを厳密に正当化する事はできませんでした。 １９世紀前半になると、コーシーやワイエルシュトラスの手によって、ε-δ 論法（イプシロン-デルタろんぽう）と呼ばれる方法が開発されます。この方法は ∞ を「数」ではなく「手続き」に読み替える論...